微積分的計算理解：從 RC 放電看導(dǎo)數(shù)、積分與微分方程

拆技

微積分的計算理解：從 RC 放電看導(dǎo)數(shù)、積分與微分方程

很多人一學(xué)到微積分就會覺得：

• 導(dǎo)數(shù)、積分一堆公式在那兒背；
• 微分方程一寫就發(fā)懵，尤其是那種“兩邊對不同變量積分”的操作，感覺很玄學(xué)；
• 看到 (\ln v)、(e^{-t/RC}) 更懵：這玩意兒怎么就冒出來了？
  

這一篇就想做一件事：把“微積分計算”這件事拆開講清楚：導(dǎo)數(shù)是什么，積分是什么，微分方程怎么“兩邊各自積分”，以及 RC 放電這個經(jīng)典例子里每一步到底在干嘛。

---

1. 導(dǎo)數(shù)：瞬時變化率的“極限差商”

最原始的定義是：

直觀理解：

• (f'(x))：函數(shù)在 x 這個點上“瞬間變化速度”
• 在物理里，位移函數(shù) s(t) 的導(dǎo)數(shù)就是速度 v(t)；速度的導(dǎo)數(shù)就是加速度 a(t)。
  

計算上，我們用一套 導(dǎo)數(shù)公式 來代替極限運算：

• ((x^n)' = nx^{n-1})
• ((e^x)' = e^x)
• ((\sin x)' = \cos x)，等等。
  

導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)：給你一個“量隨時間/空間變化的函數(shù)”，導(dǎo)數(shù)告訴你“它此刻變化得有多快”。

---

2. 積分：把“瞬時變化”累加起來

積分的最原始定義是：

直覺是：把 [a,b] 區(qū)間拆成很多很多小段，每小段的“高度 × 寬度”加起來，就是曲線下的面積。

不定積分 (\int f(x),dx) 是“求一個函數(shù) F(x)，使得 F'(x)=f(x)”：

積分的本質(zhì)：導(dǎo)數(shù)是“從整體到瞬間”，積分是“從瞬間重新拼回整體”。

---

3. 微分方程：用導(dǎo)數(shù)描述規(guī)律

很多物理規(guī)律寫出來就長這樣：

這是一個一階線性微分方程，代表：

• 電容上的電壓 v(t)
• 它的變化率 (\frac{dv}{dt}) 跟自己成正比
• 比例系數(shù)是 (-1/(RC))
  

這個方程來自 RC 放電電路：

• 電容通過電阻放電
• 電壓越高，放電電流越大，電壓下降越快
• 所以形成“自減速”的指數(shù)衰減
  

微分方程干的事：不再直接給你函數(shù) v(t)，而是給你“v 的導(dǎo)數(shù)與 v 本身之間的關(guān)系”，讓你自己從這個規(guī)律“反推”完整函數(shù)。

---

4. 變量可分離：為什么能“兩邊各自積分”

RC 放電方程：

想解它，我們做一步變形，把 v 和 t 分到兩邊去：

很多人覺得怪就怪在這里：左邊是 dv/v，右邊是 dt，這倆還能一起積分嗎？

4.1 正確的理解方式：這是兩個獨立積分

這一步其實是在說：

找兩個函數(shù) F(v)、G(t)，使得(\displaystyle \frac{dF}{dv}=\frac{1}{v},\quad \frac{dG}{dt}=-\frac{1}{RC})，并且滿足 (F(v)=G(t))。

寫成積分就是：

左邊是關(guān)于 v 的積分，右邊是關(guān)于 t 的積分，它們互不干擾。只是最后我們說“這兩個結(jié)果相等”，于是把它們寫在一條等號上。

4.2 如果寫成定積分，看起來就很自然

從初值 (t=0, v(0)=V_0) 到任意時刻 t、v(t)：

• 左邊：變量是 ξ，從 V₀ 積到 v(t)
• 右邊：變量是 τ，從 0 積到 t
  

兩邊完全是 各算各的，只是我們規(guī)定“這兩個累積量必須相等”，從而得到 v 與 t 的關(guān)系。

算完：

左邊：

右邊：

于是：

指數(shù)化：

這就是經(jīng)典的 RC 放電公式。

關(guān)鍵點：“兩邊積分”不是對同一個變量操作，而是“左邊按照 v 積分，右邊按照 t 積分”，最后用等號把兩個結(jié)果關(guān)聯(lián)起來。

---

5. 為什么積分會出現(xiàn) ln v 和 e 的指數(shù)？

問得最常見的就是這兩句：

• 為什么 (\int \frac{1}{v}dv = \ln|v|)？
• 為什么最后出來的是 (e^{-t/RC}) 這種指數(shù)形式？
  

5.1 ln 是誰？它的導(dǎo)數(shù)是 1/x

從基本積分表里有：

反過來看：

所以，當(dāng)我們遇到 (\int \frac{1}{v} dv) 時，腦子里直接匹配到：

就是這么來的，完全沒玄學(xué)，就是“找到一個導(dǎo)數(shù)為 1/v 的函數(shù)”。

5.2 為什么指數(shù)會出現(xiàn)？

我們得到的中間結(jié)果是：

使用對數(shù)性質(zhì)：

對兩邊取“以 e 為底的指數(shù)”：

這只是 “對數(shù)是指數(shù)的反函數(shù)” 的直接應(yīng)用。

• 有 ln，取一次 e 的指數(shù)就可以把它“消掉”；
• 所以所有類似的“線性一階微分方程”，解出來幾乎都是 指數(shù)函數(shù)。
  

初值 v(0)=V₀ 再把 A 確定掉，整個故事就結(jié)束了。

---

6. 微分方程里的“不定積分常數(shù)”到底是什么鬼？

當(dāng)我們寫：

積分后得到：

為什么 C 可以寫成 (\ln A)？因為 C 自己就是任意常數(shù)，我們完全可以令：

這樣更方便后面指數(shù)化。

你可以這么理解：

• 不定積分時，各邊積分都會帶一個各自的常數(shù)；
• 放在一條等號上之后，可以把這兩個常數(shù)合并成一個；
• 為了后面好看，就把它寫成 ln A 的形式。
  

真正用物理條件（比如 v(0)=V₀）時，會把這個 A 完全確定下來——這就是“初始條件”的作用。

---

7. 把這一套理解遷移到更一般的微分方程

只要方程可以寫成：

就可以變成：

然后：

左右各自積分，再聯(lián)立。

RC 放電只是最簡單的一個特例：

你一旦吃透這個例子，所有簡單的一階可分離變量方程都可以同樣玩一遍。

---

8. 小結(jié)：把微積分“算對”的思維框架

把這幾件事牢牢記住，算題就不會再飄：

• 導(dǎo)數(shù)是瞬時變化率：記住一張常用導(dǎo)數(shù)表即可；
  
• 積分是導(dǎo)數(shù)的逆運算 + 面積的極限和：常見形式一張積分表就夠用；
  
• 微分方程 = 導(dǎo)數(shù) + 函數(shù)之間的關(guān)系：通過“變量可分離”“兩邊各自積分”反推函數(shù)；
  
• 兩邊積分不是“對同一個變量積分”，而是“各積分各的”：寫成定積分形式就非常自然：
  
• ln 與 e 的出現(xiàn)是必然的：
  
  
  • 1/x 的積分 → ln
  • 含 ln 的方程 → 指數(shù) e 來“反函數(shù)”；
  • 所以線性一階衰減/增長 → 都是指數(shù)函數(shù)。